Проверка равносильности двух формул

Введите две логические формулы — инструмент построит общую таблицу истинности по всем переменным обеих формул и проверит, совпадают ли их значения на каждом наборе. Если совпадают везде, формулы равносильны.

Формула 1

Формула 2

Введите формулу — таблица построится сразу.

Какие знаки можно вводить

Операция	Знаки ввода	Описание
НЕ (отрицание)	`¬ ! ~ NOT`	меняет значение на противоположное
И (конъюнкция)	`∧ & * AND`	истинно, когда истинны оба
ИЛИ (дизъюнкция)	`∨ \| + OR`	ложно, когда ложны оба
XOR (исключающее ИЛИ)	`⊕ ^ XOR`	истинно, когда операнды различны
Импликация	`→ ->`	ложно только при 1 → 0
Эквивалентность	`↔ ≡ <->`	истинно, когда операнды равны
Переменные / константы	`A B C D … 1 0`	буквы — переменные, 1 — истина, 0 — ложь

Приоритет: НЕ → И → XOR → ИЛИ → импликация → эквивалентность. Меняйте порядок скобками. Регистр и пробелы не важны.

Теория и пояснения

Две логические формулы называются равносильными (эквивалентными), если они принимают одинаковые значения при любых значениях входящих в них переменных — то есть их итоговые столбцы в таблице истинности совпадают строка в строку. Это основной критерий проверки логических тождеств и упрощений. Инструмент собирает все переменные из обеих формул, строит общую таблицу, вычисляет каждую формулу на каждом наборе и помечает строки, где значения различаются. Если расхождений нет — формулы равносильны; если есть хотя бы одна строка с разными значениями — нет, и эта строка служит контрпримером. Классический пример равносильности: импликация A → B равносильна ¬A ∨ B — это удобный способ избавиться от импликации в формуле. Другие важные равносильности: законы де Моргана, дистрибутивные законы, выражение эквивалентности через импликации (A ↔ B) = (A → B) ∧ (B → A), выражение XOR через отрицание эквивалентности. Проверка равносильности эквивалентна проверке того, что формула «формула1 ↔ формула2» является тавтологией: если объединяющая эквивалентность тождественно истинна, исходные формулы равносильны.

Частые вопросы

Когда две формулы равносильны?

Когда они дают одинаковый результат при всех возможных значениях переменных, то есть их итоговые столбцы в таблице истинности совпадают во всех строках.

Равносильны ли A → B и ¬A ∨ B?

Да. Импликация по определению равносильна дизъюнкции отрицания посылки и заключения: A → B = ¬A ∨ B. Таблица истинности подтверждает совпадение во всех четырёх строках.

Что показывает строка с расхождением?

Это контрпример: набор значений переменных, на котором формулы дают разные результаты. Достаточно одной такой строки, чтобы формулы не были равносильны.

Как связана равносильность с тавтологией?

Формулы равносильны тогда и только тогда, когда их эквивалентность «формула1 ↔ формула2» тождественно истинна (является тавтологией).

Другие инструменты логики

Упростить логическое выражение — Упрощение логических выражений — это преобразование формулы к более простому равносильному виду по законам алгебры логики. Постройте таблицу истинности, чтобы понять поведение формулы, а проверить упрощение поможет страница проверки равносильности двух формул.
Законы алгебры логики — Законы алгебры логики — это равносильности, которые позволяют преобразовывать и упрощать логические формулы. Любой из них можно проверить здесь: запишите закон как эквивалентность через ↔ и постройте таблицу — у верного закона итоговый столбец состоит из одних единиц.
Таблица истинности по формуле — Введите формулу — и получите готовую таблицу истинности со всеми наборами значений и промежуточными столбцами. Удобно для проверки тождеств, законов де Моргана и заданий по математической логике.
Построить таблицу истинности онлайн — Введите логическую формулу — инструмент мгновенно построит полную таблицу истинности по всем наборам значений переменных, добавит столбцы подформул, определит тип формулы и выведет СДНФ и СКНФ. Всё считается прямо в браузере, без отправки на сервер.