Законы алгебры логики — это равносильности, которые позволяют преобразовывать и упрощать логические формулы. Любой из них можно проверить здесь: запишите закон как эквивалентность через ↔ и постройте таблицу — у верного закона итоговый столбец состоит из одних единиц.
Таблица истинности логических операций
Базовая таблица истинности всех логических операций для двух переменных A и B — отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, исключающее ИЛИ, импликация и эквивалентность. Это готовый справочник: по нему удобно проверять значения связок при разборе любой формулы.
Как читать: И (∧) истинно только в последней строке, где истинны оба операнда; ИЛИ (∨) ложно только в первой строке; XOR (⊕) истинно, когда A и B различны; импликация (→) ложна единственный раз — при 1 → 0; эквивалентность (↔) истинна, когда значения совпадают.
Теория и пояснения
Алгебра логики (булева алгебра) описывает операции над высказываниями, которые могут быть истинными (1) или ложными (0). Её основные законы — это равносильности, верные при любых значениях переменных. Коммутативность: A ∧ B = B ∧ A и A ∨ B = B ∨ A. Ассоциативность: (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C) и аналогично для ИЛИ. Дистрибутивность: A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) и A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C). Законы де Моргана: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B и ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B. Идемпотентность: A ∧ A = A и A ∨ A = A. Поглощение: A ∨ (A ∧ B) = A и A ∧ (A ∨ B) = A. Закон двойного отрицания: ¬¬A = A. Законы исключённого третьего и противоречия: A ∨ ¬A = 1 и A ∧ ¬A = 0. Свойства констант: A ∧ 1 = A, A ∧ 0 = 0, A ∨ 1 = 1, A ∨ 0 = A. Полезные выражения производных операций: импликация A → B = ¬A ∨ B; эквивалентность A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A); исключающее ИЛИ A ⊕ B = ¬(A ↔ B). Каждое из этих тождеств можно проверить за секунды: запишите его в виде эквивалентности и постройте таблицу истинности — если формула тождественно истинна (тавтология), закон верен. По умолчанию в поле уже стоит дистрибутивный закон — нажмите, чтобы увидеть, что все значения в итоговом столбце равны единице.
Частые вопросы
Какие основные законы алгебры логики?
Коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, законы де Моргана, идемпотентность, поглощение, двойное отрицание, исключённого третьего и противоречия, а также свойства констант 0 и 1.
Как проверить закон логики?
Запишите его как эквивалентность левой и правой части через ↔ и постройте таблицу истинности. Если итоговый столбец состоит из одних единиц, формула — тавтология, и закон верен.
Как выразить импликацию через И, ИЛИ и НЕ?
A → B = ¬A ∨ B. Это базовая равносильность, позволяющая убрать импликацию из формулы.
Как выразить эквивалентность и XOR?
Эквивалентность: A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A). Исключающее ИЛИ: A ⊕ B = ¬(A ↔ B), то есть оно истинно ровно тогда, когда операнды различны.