Построить таблицу истинности онлайн

Введите логическую формулу — инструмент мгновенно построит полную таблицу истинности по всем наборам значений переменных, добавит столбцы подформул, определит тип формулы и выведет СДНФ и СКНФ. Всё считается прямо в браузере, без отправки на сервер.

Логическая формула

Введите формулу — таблица построится сразу.

Примеры: A ∧ B, A ∨ ¬B, (A → B) ∧ (B → C), закон де Моргана, A ⊕ B ⊕ C

Какие знаки можно вводить

Операция	Знаки ввода	Описание
НЕ (отрицание)	`¬ ! ~ NOT`	меняет значение на противоположное
И (конъюнкция)	`∧ & * AND`	истинно, когда истинны оба
ИЛИ (дизъюнкция)	`∨ \| + OR`	ложно, когда ложны оба
XOR (исключающее ИЛИ)	`⊕ ^ XOR`	истинно, когда операнды различны
Штрих Шеффера (И-НЕ)	`↑ NAND`	ложно только когда истинны оба
Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ)	`↓ NOR`	истинно только когда ложны оба
Импликация	`→ ->`	ложно только при 1 → 0
Эквивалентность	`↔ ≡ <->`	истинно, когда операнды равны
Переменные / константы	`A B C D … 1 0`	буквы — переменные, 1 — истина, 0 — ложь

Приоритет: НЕ → И / И-НЕ → XOR → ИЛИ / ИЛИ-НЕ → импликация → эквивалентность. Меняйте порядок скобками. Регистр и пробелы не важны.

Таблица истинности логических операций

Базовая таблица истинности всех логических операций для двух переменных A и B — отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, исключающее ИЛИ, импликация и эквивалентность. Это готовый справочник: по нему удобно проверять значения связок при разборе любой формулы.

A	B	¬A	A ∧ B	A ∨ B	A ⊕ B	A → B	A ↔ B
0	0	1	0	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	1	0
1	0	0	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	0	1	1

Как читать: И (∧) истинно только в последней строке, где истинны оба операнда; ИЛИ (∨) ложно только в первой строке; XOR (⊕) истинно, когда A и B различны; импликация (→) ложна единственный раз — при 1 → 0; эквивалентность (↔) истинна, когда значения совпадают.

Пример: таблица истинности формулы (A → B) ∧ (B → C)

Так выглядит готовая таблица истинности для формулы из примера выше. Переменных три (A, B, C), поэтому строк 2³ = 8. Отдельными столбцами показаны подформулы A → B и B → C, а в последнем столбце — их конъюнкция, то есть значение всей формулы на каждом наборе.

A	B	C	A → B	B → C	(A → B) ∧ (B → C)
0	0	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1

В итоговом столбце есть и единицы, и нули, значит формула выполнима, но не является тавтологией. Единицы стоят на наборах 000, 001, 011 и 111 — по ним инструмент строит СДНФ, по остальным (нулевым) наборам — СКНФ. Введите свою формулу в поле выше, чтобы получить такую же таблицу автоматически.

Как построить таблицу истинности: пошаговый алгоритм

Построение таблицы истинности любой формулы сводится к четырём шагам. Инструмент выше выполняет их автоматически, но порядок полезно понимать, чтобы строить таблицу и вручную:

Найдите все переменные. Выпишите каждую переменную формулы по одному разу (например, A, B, C). От их числа n зависит размер таблицы.
Определите число строк. Наборов значений ровно 2ⁿ: две переменные — 4 строки, три — 8, четыре — 16. Наборы выписывают в двоичном порядке от 00…0 до 11…1, как счёт в двоичной системе.
Заведите столбцы подформул. Для каждой скобки и связки — отдельный столбец; заполняйте их от внутренних подвыражений к внешним, чтобы значение всей формулы собиралось по шагам.
Определите тип формулы. Одни единицы в итоговом столбце — тавтология, одни нули — противоречие, и то и другое — выполнимая формула.

Пример: построение таблицы истинности для двух переменных

Построим таблицу для формулы A ∨ ¬B. Переменных две, поэтому строк 2² = 4. Отдельным столбцом показана подформула ¬B, в последнем — значение всей формулы.

A	B	¬B	A ∨ ¬B
0	0	1	1
0	1	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1

Итоговый столбец 1, 0, 1, 1: формула ложна только на наборе A = 0, B = 1, значит она выполнима. Это простейший случай; для трёх и более переменных строк становится больше (см. пример выше), но порядок действий тот же — введите свою формулу в поле выше, и таблица построится сама.

Теория и пояснения

Таблица истинности — это таблица, в которой для каждого возможного набора значений логических переменных вычислено значение формулы. Если переменных n, то наборов ровно 2ⁿ: для двух переменных — 4 строки, для трёх — 8, для четырёх — 16. Инструмент сам находит все переменные в формуле (латинские буквы A, B, C, D, …), перебирает все комбинации нулей и единиц и считает результат на каждом шаге. Поддерживаются все основные связки: отрицание НЕ (¬, !, NOT), конъюнкция И (∧, &, AND), дизъюнкция ИЛИ (∨, |, OR), импликация (→), эквивалентность (↔, ≡), а также исключающее ИЛИ XOR (⊕, ^). Приоритет операций обычный: сначала отрицание, затем И, затем XOR и ИЛИ, потом импликация и в конце эквивалентность; порядок можно менять скобками. Помимо итогового столбца показываются промежуточные подформулы — так видно, как результат собирается по шагам. По готовой таблице инструмент сразу определяет, является ли формула тождественно истинной (тавтологией), тождественно ложной (противоречием) или выполнимой, и строит совершенную дизъюнктивную (СДНФ) и совершенную конъюнктивную (СКНФ) нормальные формы.

Частые вопросы

Как построить таблицу истинности по формуле?

Запишите формулу в поле ввода, используя буквы-переменные и знаки логических операций (можно с экранной клавиатуры). Таблица строится автоматически: для каждого из 2ⁿ наборов значений вычисляется результат и значения всех подформул.

Сколько строк будет в таблице?

Столько, сколько наборов значений: 2 в степени числа переменных. Для 2 переменных — 4 строки, для 3 — 8, для 4 — 16, для 5 — 32.

Какие знаки операций можно вводить?

НЕ: ¬, !, ~, NOT; И: ∧, &, *, AND; ИЛИ: ∨, |, +, OR; импликация: →, ->; эквивалентность: ↔, ≡, <->; исключающее ИЛИ: ⊕, ^, XOR. Регистр и пробелы не важны.

Данные отправляются на сервер?

Нет. Разбор формулы и построение таблицы выполняются полностью в вашем браузере на JavaScript. Формула никуда не передаётся и нигде не сохраняется.

Как построить таблицу истинности: с чего начать?

Начните с поиска всех переменных формулы — их число n задаёт размер таблицы (2ⁿ строк). Затем выпишите все наборы значений в двоичном порядке, заведите столбцы для подформул и заполняйте их от внутренних скобок к внешним; в последнем столбце получится значение всей формулы. Инструмент выше выполняет все эти шаги автоматически.

Чем построение таблицы истинности отличается от вычисления выражения?

Вычисление даёт значение формулы при одном наборе значений переменных, а построение таблицы истинности перебирает сразу все 2ⁿ наборов и показывает результат на каждом. Этот инструмент строит полную таблицу и попутно вычисляет значения всех подформул в отдельных столбцах.

Другие инструменты логики

Калькулятор логических выражений — Калькулятор логических выражений вычисляет булеву формулу при любых значениях переменных и сразу строит полную таблицу истинности. Введите выражение со знаками И, ИЛИ, НЕ, импликации, эквивалентности или XOR — результат и все промежуточные столбцы появятся мгновенно.
Логические операции и их таблицы истинности — Справочник логических операций с таблицами истинности: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, исключающее ИЛИ, импликация, эквивалентность, а также штрих Шеффера (И-НЕ) и стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ). Введите любую формулу с этими знаками — таблица построится сразу.
СКНФ и СДНФ онлайн — Введите формулу — калькулятор построит таблицу истинности и сразу найдёт СДНФ (совершенную дизъюнктивную нормальную форму), СКНФ (совершенную конъюнктивную нормальную форму) и полином Жегалкина. Ниже показано, как свернуть совершенные формы до обычных ДНФ и КНФ, найти минимальную ДНФ (МДНФ) и как связаны СДНФ и СКНФ. Удобно для заданий по дискретной математике.
Полином Жегалкина онлайн — Введите логическую функцию — инструмент построит таблицу истинности и рядом со СДНФ и СКНФ выведет полином Жегалкина (алгебраическую нормальную форму, АНФ): сумму по модулю 2 конъюнкций переменных без отрицаний. Ниже показано, как получить тот же полином вручную методом треугольника (преобразованием Мёбиуса) по столбцу значений.
Проверка равносильности двух формул — Введите две логические формулы — инструмент построит общую таблицу истинности по всем переменным обеих формул и проверит, совпадают ли их значения на каждом наборе. Если совпадают везде, формулы равносильны.
Упростить логическое выражение онлайн — Введите логическое выражение — калькулятор построит таблицу истинности и сам упростит формулу: под таблицей появится строка «Упрощённое выражение (МДНФ)» — минимальная равносильная запись с наименьшим числом букв. Ниже разобрано, как получить тот же результат вручную по законам алгебры логики.