Введите логическое выражение — калькулятор построит таблицу истинности и сам упростит формулу: под таблицей появится строка «Упрощённое выражение (МДНФ)» — минимальная равносильная запись с наименьшим числом букв. Ниже разобрано, как получить тот же результат вручную по законам алгебры логики.
Таблица истинности логических операций
Базовая таблица истинности всех логических операций для двух переменных A и B — отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, исключающее ИЛИ, импликация и эквивалентность. Это готовый справочник: по нему удобно проверять значения связок при разборе любой формулы.
Как читать: И (∧) истинно только в последней строке, где истинны оба операнда; ИЛИ (∨) ложно только в первой строке; XOR (⊕) истинно, когда A и B различны; импликация (→) ложна единственный раз — при 1 → 0; эквивалентность (↔) истинна, когда значения совпадают.
Теория и пояснения
Упростить логическое выражение — значит привести его к более короткому виду, не меняя таблицы истинности. Вручную это делают по законам алгебры логики: законам поглощения A ∨ (A ∧ B) = A и A ∧ (A ∨ B) = A, идемпотентности A ∨ A = A и A ∧ A = A, де Моргана ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B, дистрибутивности, а также с помощью свойств констант (A ∨ 1 = 1, A ∧ 0 = 0) и закона исключённого третьего A ∨ ¬A = 1. Порядок обычно такой: сначала избавляются от импликаций и эквивалентностей (A → B = ¬A ∨ B), затем по де Моргану опускают отрицания к переменным, а потом раскрывают скобки и применяют поглощение с идемпотентностью. Калькулятор на этой странице выполняет упрощение сам: он строит таблицу истинности введённой формулы и по единичным наборам находит минимальную дизъюнктивную нормальную форму (МДНФ) методом Квайна — Мак-Класки, то есть тот же результат, что даёт карта Карно, но без ручных склеек. Ответ выводится строкой «Упрощённое выражение (МДНФ)» под таблицей, рядом со СДНФ, СКНФ и полиномом Жегалкина. Если формула оказалась тождественно истинной, она упрощается до константы 1, если тождественно ложной — до 0. Полученную запись удобно использовать как проверку домашнего задания: сравните свой ответ с МДНФ, а если формы отличаются, но кажутся равносильными (у функции может быть несколько тупиковых ДНФ одинаковой длины), сверьте их на странице проверки равносильности — совпадение итоговых столбцов и означает, что упрощение выполнено верно.
Частые вопросы
Как упростить логическое выражение онлайн?
Введите формулу в поле выше — калькулятор построит таблицу истинности и выведет строку «Упрощённое выражение (МДНФ)». Это и есть упрощённая запись: равносильная исходной формуле, но с наименьшим числом букв.
По какому методу выполняется упрощение?
По методу Квайна — Мак-Класки: единичные наборы таблицы склеиваются по правилу X ∧ Y ∨ X ∧ ¬Y = X, из полученных простых импликантов выбирается минимальное покрытие. Это алгоритмический аналог карты Карно, поэтому результат гарантированно минимален.
Чему равно A ∨ (A ∧ B)?
По закону поглощения это равно A. Таблицы истинности у A ∨ (A ∧ B) и у A полностью совпадают: обе дают 0, 0, 1, 1.
Как упростить выражение по законам алгебры логики вручную?
Сначала уберите импликации и эквивалентности (A → B = ¬A ∨ B), затем по законам де Моргана опустите отрицания к переменным, раскройте скобки по дистрибутивности и примените поглощение и идемпотентность. После каждого шага таблица истинности меняться не должна.
Как проверить, что упрощение верное?
Постройте таблицу истинности исходной и упрощённой формулы. Если итоговые столбцы совпадают во всех строках, формулы равносильны и упрощение корректно. Прямое сравнение двух выражений есть на странице проверки равносильности.
Что такое МДНФ?
Минимальная дизъюнктивная нормальная форма — дизъюнкция конъюнкций с наименьшим возможным числом вхождений переменных среди всех равносильных ДНФ. Например, СДНФ функции (A ∧ B) ∨ ¬C из пяти минтермов сворачивается в МДНФ ¬C ∨ (A ∧ B): 3 буквы вместо 13.
Можно ли упростить СДНФ?
Да, это стандартная задача минимизации: введите СДНФ в поле выше — калькулятор построит по ней таблицу истинности и сразу выдаст МДНФ, то есть свёрнутую форму той же функции.