↔ Таблица истинности онлайн

Логические операции и их таблицы истинности

Справочник логических операций с таблицами истинности: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, исключающее ИЛИ, импликация, эквивалентность, а также штрих Шеффера (И-НЕ) и стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ). Введите любую формулу с этими знаками — таблица построится сразу.

Введите формулу — таблица построится сразу.

Примеры: A ∧ B, A ∨ ¬B, (A → B) ∧ (B → C), закон де Моргана, A ⊕ B ⊕ C

Какие знаки можно вводить

ОперацияЗнаки вводаОписание
НЕ (отрицание)¬ ! ~ NOTменяет значение на противоположное
И (конъюнкция)∧ & * ANDистинно, когда истинны оба
ИЛИ (дизъюнкция)∨ | + ORложно, когда ложны оба
XOR (исключающее ИЛИ)⊕ ^ XORистинно, когда операнды различны
Штрих Шеффера (И-НЕ)↑ NANDложно только когда истинны оба
Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ)↓ NORистинно только когда ложны оба
Импликация→ ->ложно только при 1 → 0
Эквивалентность↔ ≡ <->истинно, когда операнды равны
Переменные / константыA B C D … 1 0буквы — переменные, 1 — истина, 0 — ложь

Приоритет: НЕ → И / И-НЕ → XOR → ИЛИ / ИЛИ-НЕ → импликация → эквивалентность. Меняйте порядок скобками. Регистр и пробелы не важны.

Все логические операции в одной таблице

Сводная таблица истинности всех основных логических операций над двумя переменными A и B. Унарное отрицание ¬A зависит только от A, остальные связки — от обоих операндов. По этой таблице можно сверить значение любой связки на любом наборе.

AB¬AA ∧ BA ∨ BA ⊕ BA → BA ↔ BA ↑ BA ↓ B
0010001111
0110111010
1000110010
1101101100

Обозначения: И-НЕ A ↑ B = ¬(A ∧ B) — штрих Шеффера; ИЛИ-НЕ A ↓ B = ¬(A ∨ B) — стрелка Пирса. Их столбцы — это инвертированные столбцы И и ИЛИ.

Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция

Отрицание (НЕ, ¬, инверсия) — унарная операция: ¬A истинно, когда A ложно, и наоборот. Конъюнкция (И, ∧, логическое умножение) A ∧ B истинна только тогда, когда истинны оба операнда. Дизъюнкция (ИЛИ, ∨, логическое сложение) A ∨ B ложна только тогда, когда ложны оба. Это базовый набор операций: через НЕ, И, ИЛИ выражается любая логическая функция.

Исключающее ИЛИ, импликация, эквивалентность

Исключающее ИЛИ (XOR, ⊕, сложение по модулю 2) истинно ровно тогда, когда операнды различны. Импликация (следование, →) A → B ложна в единственном случае — когда из истины следует ложь (A истинно, B ложно); читается «если A, то B». Эквивалентность (равнозначность, ↔, ≡) A ↔ B истинна, когда операнды равны. Полезные тождества: A → B = ¬A ∨ B, A ⊕ B = ¬(A ↔ B).

Штрих Шеффера (И-НЕ, NAND)

Штрих Шеффера A ↑ B (обозначают также A | B) — это отрицание конъюнкции: A ↑ B = ¬(A ∧ B). Операция ложна единственный раз — когда истинны оба операнда, в остальных случаях истинна. Замечательное свойство штриха Шеффера — функциональная полнота: через одну только эту операцию выражаются все остальные. Например, отрицание ¬A = A ↑ A, конъюнкция A ∧ B = (A ↑ B) ↑ (A ↑ B), дизъюнкция A ∨ B = (A ↑ A) ↑ (B ↑ B). Поэтому в схемотехнике на элементах И-НЕ (NAND) можно собрать любую цифровую схему.

Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ, NOR)

Стрелка Пирса A ↓ B — отрицание дизъюнкции: A ↓ B = ¬(A ∨ B). Операция истинна единственный раз — когда оба операнда ложны. Как и штрих Шеффера, стрелка Пирса функционально полна: ¬A = A ↓ A, дизъюнкция A ∨ B = (A ↓ B) ↓ (A ↓ B), конъюнкция A ∧ B = (A ↓ A) ↓ (B ↓ B). На элементах ИЛИ-НЕ (NOR) тоже можно построить любую логическую функцию — это широко используется в цифровой электронике.

Теория и пояснения

Логическая операция (связка) — это правило, которое по значениям истинности операндов (0 — ложь, 1 — истина) даёт значение истинности результата. Полностью задать операцию можно её таблицей истинности: для унарной операции достаточно двух строк, для бинарной — четырёх (наборы 00, 01, 10, 11). Всего различных бинарных операций ровно 16, но на практике используют несколько именованных: конъюнкцию (И), дизъюнкцию (ИЛИ), исключающее ИЛИ (XOR), импликацию, эквивалентность, штрих Шеффера (И-НЕ) и стрелку Пирса (ИЛИ-НЕ); плюс унарное отрицание (НЕ). Набор связок называют функционально полным, если через него выражается любая логическая функция: полны, например, {И, ИЛИ, НЕ}, {И, НЕ}, {ИЛИ, НЕ}, а также каждая из операций — штрих Шеффера и стрелка Пирса — по отдельности. Приоритет операций при разборе формулы: сначала отрицание, затем И и И-НЕ, далее XOR, затем ИЛИ и ИЛИ-НЕ, потом импликация и в конце эквивалентность; порядок меняется скобками. Чтобы увидеть, как ведёт себя любая комбинация связок, введите формулу выше — инструмент построит полную таблицу истинности со столбцами всех подформул прямо в браузере.

Частые вопросы

Сколько всего существует логических операций?

Унарная операция над одной переменной задаётся таблицей из 2 строк — таких операций 4 (включая отрицание). Бинарных операций над двумя переменными ровно 16 (2 в степени 4), из них именованные — И, ИЛИ, XOR, импликация, эквивалентность, штрих Шеффера, стрелка Пирса и другие.

Что такое штрих Шеффера и стрелка Пирса?

Штрих Шеффера A ↑ B = ¬(A ∧ B) — это «И-НЕ» (NAND): ложно только когда истинны оба. Стрелка Пирса A ↓ B = ¬(A ∨ B) — это «ИЛИ-НЕ» (NOR): истинно только когда ложны оба. Каждая из них функционально полна — через неё одну выражаются все остальные операции.

Какой набор операций называется функционально полным?

Тот, через который можно выразить любую логическую функцию. Полны наборы {И, ИЛИ, НЕ}, {И, НЕ}, {ИЛИ, НЕ}, а также каждая из операций штрих Шеффера и стрелка Пирса в отдельности.

Как выразить И, ИЛИ и НЕ через штрих Шеффера?

¬A = A ↑ A; A ∧ B = (A ↑ B) ↑ (A ↑ B); A ∨ B = (A ↑ A) ↑ (B ↑ B). Аналогично всё выражается через стрелку Пирса. Проверить любое равенство можно таблицей истинности.